Varianza y desviación típica: 8 ejercicios resueltos
Resuelve ocho ejercicios de varianza y desviación típica: N frente a N−1, frecuencias, unidades y cambios de escala. Con soluciones paso a paso.
La varianza y la desviación típica describen la dispersión de los datos respecto a su media. Para resolver un ejercicio debes distinguir tres resultados: la suma de cuadrados de las desviaciones, la varianza que resulta al dividirla y la raíz cuadrada que da la desviación típica.
Esta colección contiene ocho preguntas originales con cuatro alternativas y soluciones razonadas. Trabaja con datos ficticios pequeños, valores exactos y frecuencias absolutas. No reproduce un examen oficial ni utiliza intervalos agrupados, normalidad, contrastes estadísticos o inferencias sobre una población real.
Fija el denominador antes de calcular
En los casos 1 a 5, 7 y 8, tomamos cada lista como la colección completa que queremos describir. Su varianza se calcula dividiendo la suma de cuadrados de las desviaciones entre N, el número total de observaciones. En el caso 6 se pide expresamente la varianza muestral corregida, con denominador N−1.
El apartado de dispersión de OpenStax, Introductory Statistics 2e, distingue los denominadores de las fórmulas poblacional y muestral e incorpora frecuencias. No basta con ver la palabra «datos» para elegir una fórmula: conserva la definición que te proporciona el problema.
Varianza con N = suma de las desviaciones al cuadrado / N.
Varianza corregida con N−1 = suma de las desviaciones al cuadrado / (N−1).
Desviación típica = raíz cuadrada no negativa de la varianza correspondiente.
El NIST, en Measures of Scale, presenta la fórmula con N−1 y recuerda la diferencia de unidades entre varianza y desviación típica. Esa referencia no convierte N−1 en el denominador que se deba aplicar automáticamente a todos los ejercicios de esta página.
Una tabla de cálculo que evita tres errores
Para cada lista, calcula su media y escribe las desviaciones con su signo. Eleva cada desviación al cuadrado antes de sumar; no eleves al cuadrado la suma de desviaciones. Esa suma con signo vale cero cuando se calcula exactamente respecto a la media, aunque los datos estén separados.
Después comprueba el número de observaciones y el denominador solicitado. En una tabla de frecuencias, una frecuencia dos representa dos observaciones. Por último mira qué medida pide la pregunta: si solicita desviación típica, todavía falta tomar la raíz de la varianza. Los resultados fraccionarios de esta práctica se mantienen exactos, sin redondeos intermedios.
Ejercicio 1. Dividir la suma de cuadrados por N
La colección completa contiene los valores 2, 4 y 6. Calcula su varianza descriptiva con denominador N=3.
A. 4. B. 8/3. C. 8. D. 4/3.
Ver solución del ejercicio 1
Correcta: B. La media es (2 + 4 + 6)/3 = 4. Las desviaciones son −2, 0 y 2; sus cuadrados son 4, 0 y 4. La suma de cuadrados es 8 y la varianza pedida es 8/3. La fracción es exacta: no necesitas convertirla en decimal para elegir.
A divide entre N−1 y obtiene 4, pero el enunciado pide dividir entre tres. C se queda con la suma de cuadrados, sin promediar. D calcula la media de las distancias absolutas: (2 + 0 + 2)/3 = 4/3. Esa es otra medida y no coincide con la varianza. Escribe el denominador antes de hacer la última división.
Ejercicio 2. Desviación típica y unidades originales
Los cuatro tiempos de una colección completa son 1, 1, 5 y 5 segundos. Calcula la desviación típica usando la varianza con denominador N=4.
A. 4 segundos. B. 8 segundos. C. 0 segundos. D. 2 segundos.
Ver solución del ejercicio 2
Correcta: D. La media es 3 segundos. Las desviaciones son −2, −2, 2 y 2 segundos. Sus cuadrados suman 4 + 4 + 4 + 4 = 16 segundos al cuadrado. La varianza es 16/4 = 4 segundos al cuadrado; su raíz cuadrada es 2 segundos, la desviación típica.
A toma el valor numérico de la varianza y lo etiqueta como si ya fuera la desviación típica. B coincide con sumar las cuatro distancias absolutas sin promediar. C puede surgir al sumar directamente las desviaciones con sus signos: se cancelan, pero los datos no son iguales. La raíz devuelve las unidades originales; no conserva las unidades al cuadrado de la varianza.
Ejercicio 3. Las frecuencias también cuentan en la dispersión
Esta tabla describe la colección completa de observaciones exactas. Calcula su varianza con denominador N, contando todas las repeticiones.
| Valor | Frecuencia absoluta |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 2 | 2 |
| 4 | 1 |
A. 4. B. 1. C. 2. D. 8.
Ver solución del ejercicio 3
Correcta: C. La lista desarrollada es 0, 2, 2 y 4: hay N=4 observaciones, no tres. La media es 2. La suma ponderada de cuadrados de las desviaciones es 1 × (0 − 2)² + 2 × (2 − 2)² + 1 × (4 − 2)² = 8. La varianza es 8/4 = 2.
A, B y D no dividen esa suma de cuadrados entre el número correcto de observaciones; D se queda directamente con el total 8. Si promedias solo los tres valores distintos con el mismo peso, estarías describiendo otra colección. Aquí la frecuencia dos de la fila central significa que el valor 2 aparece dos veces. No son intervalos ni marcas de clase.
Ejercicio 4. Sumar una constante mueve el centro
A cada dato de la colección 3, 5 y 7 se le suma 10. ¿Cuál es la pareja media; varianza con denominador N=3 de la colección transformada?
A. 15; 8/3. B. 5; 8/3. C. 15; 38/3. D. 15; 308/3.
Ver solución del ejercicio 4
Correcta: A. La colección pasa a ser 13, 15 y 17, con media 15. Las desviaciones respecto a su nueva media siguen siendo −2, 0 y 2. Por tanto, la varianza es 8/3, igual que antes de sumar la constante.
B conserva indebidamente la media original. C añade 10 a la varianza; D añade 100 a la varianza, como si hubiera que elevar la constante al cuadrado y sumarla. Ninguna de esas dos operaciones describe el cambio de las desviaciones. Al sumar la misma constante a todos los datos también la sumas a la media, por lo que la diferencia de cada dato con su centro permanece igual.
Ejercicio 5. Multiplicar por un número negativo
Multiplica cada valor de la colección 0, 2 y 4 por −3. ¿Cuál es la varianza de la colección resultante, usando denominador N=3?
A. 24. B. −8. C. 8. D. 8/9.
Ver solución del ejercicio 5
Correcta: A. Los nuevos valores son 0, −6 y −12, con media −6. Las desviaciones son 6, 0 y −6; sus cuadrados suman 72. Al dividir entre tres, la varianza es 24. La varianza original era 8/3 y el factor de cambio es (−3)² = 9: 9 × 8/3 = 24.
B multiplica la varianza por −3 sin elevar el factor al cuadrado y produce además un resultado negativo, imposible con esta definición. C multiplica solo por el valor absoluto 3. D divide entre 3 en lugar de aplicar el factor cuadrado. La desviación típica se multiplicaría por el valor absoluto del factor; la varianza, por su cuadrado.
Ejercicio 6. El enunciado pide expresamente N−1
Los datos 4, 7 y 10 se consideran una muestra. Calcula la varianza muestral corregida, definida aquí como suma de cuadrados de las desviaciones respecto a la media dividida entre N−1, con N=3.
A. 6. B. 18. C. 9. D. 3.
Ver solución del ejercicio 6
Correcta: C. La media es 7. Los cuadrados de las desviaciones son 9, 0 y 9; suman 18. El denominador solicitado es 3 − 1 = 2, de modo que la varianza muestral corregida es 18/2 = 9.
A divide entre tres y daría la varianza descriptiva con denominador N. B no divide. D toma la raíz cuadrada de 9 y responde la desviación típica corregida, aunque se pregunta por la varianza. No hemos cambiado la suma de cuadrados respecto al procedimiento anterior: cambia el denominador que el enunciado define. Este ejercicio calcula la medida pedida; no estima aquí ningún parámetro real ni exige justificar un método de muestreo.
Ejercicio 7. Todos los datos son iguales
La colección completa es 7, 7, 7 y 7. ¿Cuál es la pareja varianza con denominador N=4; desviación típica?
A. 7; 7. B. 0; 7. C. 49; 7. D. 0; 0.
Ver solución del ejercicio 7
Correcta: D. La media es 7, y cada dato menos la media vale cero. La suma de sus cuadrados es cero; la varianza es 0/4 = 0 y la desviación típica es raíz de 0 = 0. El conjunto no tiene dispersión respecto a su media.
A devuelve la media en ambos lugares. B calcula la varianza, pero conserva la media como si fuera la desviación típica. C eleva los datos al cuadrado sin restar antes su centro. El hecho de que los valores sean positivos no obliga a que su dispersión sea positiva: aquí todos coinciden. Con estas definiciones y cantidades finitas, ambas medidas son no negativas.
Ejercicio 8. Misma media y mismo rango, distinta varianza
Compara las colecciones completas A: 0, 0, 4, 4 y B: 0, 2, 2, 4. ¿Cuál es la pareja varianza de A; varianza de B, ambas con denominador N=4?
A. 4; 4. B. 4; 2. C. 2; 4. D. 2; 2.
Ver solución del ejercicio 8
Correcta: B. Ambas colecciones tienen media 2 y rango 4 − 0 = 4. Para A, las desviaciones son −2, −2, 2 y 2; sus cuadrados suman 16, de modo que la varianza es 16/4 = 4. Para B son −2, 0, 0 y 2; los cuadrados suman 8 y la varianza es 8/4 = 2.
A supone que igual media y rango obligan a igual varianza. C intercambia los resultados. D asigna a A la varianza de B. El ejemplo muestra que los valores intermedios importan: en B, dos datos coinciden con la media; en A, todos están a distancia dos. La comparación utiliza la misma escala y el mismo denominador, sin convertir la diferencia en una explicación causal o una predicción.
Clave y comprobaciones finales
| Ejercicio | Respuesta | Control que conviene conservar |
|---|---|---|
| 1 | B: 8/3 | Media 4; suma de cuadrados 8; denominador 3 |
| 2 | D: 2 segundos | Varianza 4 segundos al cuadrado; raíz 2 segundos |
| 3 | C: 2 | Cuatro observaciones, no tres valores con igual peso |
| 4 | A: 15; 8/3 | El centro cambia; las desviaciones no |
| 5 | A: 24 | La varianza se multiplica por 9, no por −3 |
| 6 | C: 9 | Suma de cuadrados 18; denominador 2 |
| 7 | D: 0; 0 | Todas las desviaciones son cero |
| 8 | B: 4; 2 | Igual media y rango no fijan la varianza |
En los casos 1, 3 y 6 puedes reconstruir la suma de cuadrados multiplicando la varianza por su denominador. En el 2, elevar al cuadrado la desviación típica 2 recupera la varianza 4, con la diferencia de unidades indicada. En 4 y 5, compara los datos transformados con los originales para verificar el efecto de la constante o del factor.
Anota si has fallado al calcular la media, al elevar las desviaciones, al contar frecuencias, al elegir denominador o al tomar la raíz. Son errores distintos y requieren repasos distintos. No interpretes una varianza mayor como una conclusión sobre causas o riesgos: aquí solo describes las colecciones dadas bajo una misma regla de cálculo.
Continúa con tendencia central y el temario
Si necesitas reforzar el centro antes de estudiar la dispersión, vuelve a los ocho ejercicios de media, mediana y moda. Para practicar cómo los pesos modifican un promedio, continúa con los doce ejercicios de medias ponderadas.
El material de Inspector de Policía Nacional, Escala Ejecutiva incluye medidas de dispersión, varianza y desviación típica. Es un producto de pago; consulta su ficha para comprobar el alcance del contenido. Estos problemas son un apoyo gratuito de cálculo y no atribuyen preguntas, penalizaciones o una nota de corte a una convocatoria.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo divido entre N y cuándo entre N−1?
Lee qué medida se pide. En esta práctica, los casos 1 a 5, 7 y 8 describen la colección completa y dividen entre N. El caso 6 pide expresamente la varianza muestral corregida y divide entre N−1. No intercambies las fórmulas sin atender al enunciado.
¿Varianza y desviación típica son lo mismo?
No. La desviación típica es la raíz cuadrada no negativa de la varianza. La varianza queda en unidades al cuadrado y la desviación típica en las unidades originales. En el caso 2 son 4 segundos al cuadrado y 2 segundos, respectivamente.
¿Sumar una constante cambia la varianza?
Sumar la misma constante a todos los datos y a su media conserva las desviaciones respecto al centro, por lo que la varianza no cambia. En el caso 4 la media aumenta de 5 a 15 y la varianza sigue siendo 8/3.
¿Multiplicar por un número negativo produce varianza negativa?
No. Si todos los datos se multiplican por un factor, la varianza se multiplica por su cuadrado. La desviación típica se multiplica por su valor absoluto. En el caso 5, el factor −3 multiplica la varianza por 9.
¿Dos colecciones con la misma media tienen la misma dispersión?
No necesariamente. En el ejercicio 8, ambas tienen media 2 y rango 4, pero las varianzas con denominador N son 4 y 2. Conocer la media y el rango no permite reconstruir la varianza.
