Pitágoras: 8 ejercicios de catetos y diagonales
Practica el teorema de Pitágoras con ocho ejercicios resueltos: hipotenusa, catetos, diagonales, unidades, coordenadas y escala. Incluye soluciones.
Para resolver ejercicios del teorema de Pitágoras, empieza por justificar dónde está el ángulo recto. Después identifica qué lado falta. Sumar cuadrados puede estar bien hecho y resolver una pregunta distinta si has confundido un cateto con la hipotenusa.
Esta colección contiene ocho preguntas originales, con cuatro opciones y soluciones razonadas. Trabaja longitudes en figuras planas ideales: lados, diagonales, una distancia entre puntos y una diagonal a escala. Los datos se dan en los enunciados; no hay que medir imágenes ni utilizar una aplicación de mapas. No son preguntas de un examen oficial ni instrucciones de replanteo o medición sobre el terreno.
La relación que hay que interpretar
Llamaremos h a la hipotenusa y a y b a los catetos. La relación es h² = a² + b². La hipotenusa se encuentra frente al ángulo de 90 grados; los catetos lo forman. El recurso de Pitágoras del INTEF recoge esta relación. La sección de geometría de OpenStax explica también la identificación de los lados y el uso de raíces. Los ejemplos y las alternativas de esta práctica son propios.
| Incógnita | Operación sobre los cuadrados | Paso final |
|---|---|---|
| Hipotenusa h | h² = a² + b² | Raíz positiva de la suma |
| Cateto b | b² = h² − a² | Raíz positiva de la diferencia |
| Diagonal de un rectángulo | d² = largo² + ancho² | Raíz positiva; sigue siendo longitud |
Trabaja con longitudes positivas. Si el supuesto cateto conocido supera a la supuesta hipotenusa, revisa la identificación o los datos antes de intentar extraer una raíz de una diferencia negativa. La forma en que se haya dibujado la figura no cambia estas relaciones.
Antes de elegir una respuesta
Escribe el ángulo recto, nombra el lado que falta y unifica unidades. Al terminar, sustituye el resultado en la igualdad de cuadrados. Comprueba además si has respondido con una longitud o te has detenido en su cuadrado. Si aparece una raíz que no es entera, conserva la expresión exacta salvo que se pida aproximarla.
Ejercicio 1. Hallar la hipotenusa
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 40 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
A. 49 cm. B. 31 cm. C. 1.681 cm. D. 41 cm.
Ver solución del ejercicio 1
Correcta: D. La hipotenusa está enfrente del ángulo recto. Su cuadrado es 9² + 40² = 81 + 1.600 = 1.681 cm². Al tomar la raíz positiva, obtienes 41 cm. Comprueba: 41² = 1.681.
A suma las longitudes de los catetos y obtiene un recorrido por dos lados, no el lado que falta. B resta sus longitudes; esa resta tampoco expresa el teorema. C conserva el número obtenido al calcular el cuadrado de la hipotenusa, pero lo presenta como una longitud. La hipotenusa debe superar los 40 cm del cateto mayor y ser menor que la suma 49 cm. Esas dos comparaciones permiten descartar varios errores, aunque por sí solas no demuestran que 41 sea el resultado.
Ejercicio 2. Despejar un cateto
En otro triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 37 m y un cateto mide 12 m. ¿Cuánto mide el otro cateto?
A. 25 m. B. 35 m. C. 49 m. D. 1.225 m.
Ver solución del ejercicio 2
Correcta: B. Escribe primero 37² = 12² + b². Despejando, b² = 1.369 − 144 = 1.225 m². La raíz positiva es 35 m. La sustitución 12² + 35² = 144 + 1.225 = 1.369 = 37² recupera el dato inicial.
A resta directamente 37 − 12, ignorando los cuadrados. C suma ambas longitudes. D confunde el cuadrado calculado con la longitud pedida. No debes sumar los cuadrados para encontrar este cateto: el término 12² ya forma parte de 37². Además, un cateto no puede ser mayor que la hipotenusa del mismo triángulo.
Ejercicio 3. La diagonal de un rectángulo
Un rectángulo plano mide 16 m de largo y 30 m de ancho. ¿Cuánto mide el segmento que une dos vértices opuestos?
A. 34 m. B. 46 m. C. 92 m. D. 480 m.
Ver solución del ejercicio 3
Correcta: A. La diagonal y dos lados contiguos forman un triángulo rectángulo. Por eso d² = 16² + 30² = 256 + 900 = 1.156 m², y d = 34 m. La diagonal supera al lado mayor, 30 m, y es menor que el recorrido de 46 m por dos lados.
B suma un largo y un ancho. C calcula todo el perímetro. D coincide numéricamente con el área, 16 × 30 = 480, cuya unidad sería m². Etiquetar ese producto como metros no lo convierte en una diagonal. El dato de que la figura es un rectángulo garantiza el ángulo recto necesario; no hay que estimarlo mirando un dibujo.
Ejercicio 4. Convertir antes de elevar al cuadrado
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,9 m y 120 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa en metros?
A. 120,9 m. B. 2,1 m. C. 1,5 m. D. 15 m.
Ver solución del ejercicio 4
Correcta: C. Convierte primero 120 cm en 1,2 m. Entonces h² = 0,9² + 1,2² = 0,81 + 1,44 = 2,25 m². Su raíz positiva es 1,5 m. Una segunda ruta usa centímetros: 90² + 120² = 8.100 + 14.400 = 22.500 cm²; la raíz es 150 cm, equivalentes a 1,5 m.
A suma números escritos con unidades distintas y asigna metros al resultado. B ya convierte bien, pero suma catetos en lugar de aplicar Pitágoras. D introduce un factor diez que no corresponde. En este ejercicio se convierten longitudes: el factor cien entre metros y centímetros se aplica antes de cuadrarlas, o su cuadrado se aplica después a las áreas.
Ejercicio 5. Distancia entre dos puntos
En un plano cartesiano con ejes perpendiculares y la misma escala, cada unidad representa un metro. Los puntos son P(−4, 2) y Q(8, 7). ¿Cuál es su distancia en línea recta?
A. 17 m. B. 13 m. C. 12 m. D. 5 m.
Ver solución del ejercicio 5
Correcta: B. La separación horizontal es 8 − (−4) = 12 m; la vertical es 7 − 2 = 5 m. Son las longitudes de dos catetos perpendiculares. Por tanto, d² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 m², y d = 13 m.
A suma las separaciones horizontal y vertical: cuenta un camino con dos tramos, no el segmento directo. C conserva solo la separación horizontal y D solo la vertical. El signo negativo de una coordenada no vuelve negativa una distancia: resta las coordenadas correspondientes y eleva cada diferencia al cuadrado. Al intercambiar P y Q cambian los signos de ambas diferencias, pero sus cuadrados y la distancia final permanecen iguales.
Ejercicio 6. No se ha dado un ángulo recto
De un triángulo solo se sabe que dos de sus lados miden 7 cm y 9 cm. No se da ningún ángulo ni otra relación. ¿Qué se puede afirmar de la longitud del tercer lado?
A. Mide exactamente 16 cm. B. Mide exactamente raíz de 130 cm. C. Mide exactamente 2 cm. D. No puede determinarse un valor único con esos datos.
Ver solución del ejercicio 6
Correcta: D. Falta información para fijar una única longitud. No se ha dicho que los lados de 7 y 9 cm sean catetos ni que formen 90 grados. Aplicar sin más la raíz de 7² + 9² resolvería un caso particular que el enunciado no establece.
A y C dan los extremos degenerados de sumar o restar los lados: no forman un triángulo no degenerado con esos datos. B sería la hipotenusa si los lados conocidos fueran perpendiculares, pero esa condición falta. La comprobación correcta comienza antes de la operación: distinguir un dato explícito de una suposición evita producir una cifra precisa para un problema que admite varias respuestas.
Ejercicio 7. Resultado exacto y aproximado
Un cuadrado tiene 7 cm de lado. ¿Qué expresión da exactamente la longitud de una diagonal?
A. 14 cm. B. 49 cm. C. 7 × raíz de 2 cm. D. 7 cm.
Ver solución del ejercicio 7
Correcta: C. La diagonal forma con dos lados un triángulo rectángulo de catetos iguales. Así, d² = 7² + 7² = 98 cm², y d = raíz de 98 = 7 × raíz de 2 cm. Esa expresión es exacta. Si se pide una aproximación a centésimas, da 9,90 cm; esta cifra redondeada no sustituye a la expresión exacta cuando se pregunta por ella.
A suma los lados. B es el número del área del cuadrado, cuya unidad sería cm². D confunde diagonal con lado. La raíz de una suma no se obtiene sumando las raíces de sus términos: raíz de (49 + 49) no es 7 + 7.
Ejercicio 8. Una diagonal representada a escala
Un plano ideal a escala 1:2.500 representa un rectángulo con lados perpendiculares de 20 mm y 21 mm. La escala es uniforme y no hay deformación. ¿Qué longitud real tiene su diagonal?
A. 72,5 m. B. 29 m. C. 725 m. D. 102,5 m.
Ver solución del ejercicio 8
Correcta: A. Primero resuelve en el plano: d² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841 mm². La diagonal mide 29 mm. La escala convierte esa longitud en 29 × 2.500 = 72.500 mm reales, que son 72,5 m.
Otra ruta convierte los lados antes: 20 mm representan 50 m y 21 mm representan 52,5 m. Pitágoras da raíz de (50² + 52,5²) = 72,5 m. B cambia la etiqueta de 29 mm a metros sin aplicar la escala. C convierte milímetros a metros con un factor incorrecto. D suma las longitudes reales de los dos lados, 50 + 52,5 = 102,5 m, en lugar de calcular la diagonal. No se pide un área: no debes elevar al cuadrado el denominador de la escala para convertir la longitud.
Clave y revisión de errores
| Ejercicio | Respuesta | Control |
|---|---|---|
| 1 | D: 41 cm | 9² + 40² = 41² |
| 2 | B: 35 m | 12² + 35² = 37² |
| 3 | A: 34 m | 16² + 30² = 34² |
| 4 | C: 1,5 m | Mismo resultado trabajando en centímetros |
| 5 | B: 13 m | Diferencias de coordenadas 12 y 5 |
| 6 | D: faltan datos | No se justifica el ángulo recto |
| 7 | C: 7 × raíz de 2 cm | Exacto; aproximadamente 9,90 cm |
| 8 | A: 72,5 m | Escalar antes o después da lo mismo |
La clave es DBACBDCA. Clasifica cada error: identificar lados, escoger suma o resta, convertir unidades, tomar la raíz o interpretar la pregunta. Si fallaste en el caso 6, el problema no es una operación: has añadido una condición que no estaba en el enunciado.
Para la distancia del caso 5 usamos ejes perpendiculares con la misma unidad. La sección de coordenadas y distancia de OpenStax desarrolla la relación entre las diferencias de coordenadas y los catetos. Esto no autoriza a aplicar la misma cuenta directamente a latitud y longitud en grados ni a cualquier representación cartográfica.
Seguir con unidades, superficies y planos
Una diagonal es una longitud. Para distinguirla de un área o un volumen, continúa con los ocho ejercicios de superficies y volúmenes. Si necesitas practicar cómo se pasa del plano a la realidad, tienes los ejercicios de escalas en mapas.
El material de Agente Forestal y Medioambiental de Zaragoza incluye Pitágoras dentro del apartado de alineaciones y perpendiculares de topografía. Es un producto de pago cuya ficha detalla su alcance. Esta práctica sirve de repaso matemático; no establece la frecuencia, la dificultad ni la puntuación de esta materia en una convocatoria.
Preguntas frecuentes
¿Cómo identifico la hipotenusa?
Es el lado opuesto al ángulo recto y el mayor de los tres lados de un triángulo rectángulo. No depende de cómo gires el dibujo ni de qué letra se use para nombrarlo.
¿Cuándo sumo y cuándo resto los cuadrados?
Para hallar la hipotenusa, suma los cuadrados de los dos catetos. Para hallar un cateto, resta al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del cateto conocido. Después toma la raíz positiva.
¿Puedo aplicar Pitágoras a cualquier triángulo?
No. Debes tener justificado que es rectángulo. Conocer solamente dos lados de un triángulo no autoriza a tratarlos como catetos ni fija por sí solo el tercer lado.
¿Por qué la respuesta es una longitud y no un área?
La suma o resta intermedia calcula el cuadrado de una longitud y tiene unidades al cuadrado. Al extraer la raíz, recuperas una unidad de longitud: metros, centímetros o la que corresponda.
¿Debo convertir las unidades antes de usar Pitágoras?
Los lados que introduces juntos deben estar expresados en una misma unidad. Puedes convertirlos al principio o trabajar en otra unidad común y convertir la longitud final; ambas rutas deben coincidir.
