Combinatoria: 8 ejercicios de orden y repetición
Resuelve ocho ejercicios de combinatoria: variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición. Incluye grupos, códigos y restricciones.
Para resolver ejercicios de combinatoria, empieza por decidir qué hace diferentes a dos resultados. Elegir tres personas para un grupo no es lo mismo que asignarlas a tres cargos. Tampoco es igual formar un código con dígitos repetibles que ordenar una colección fija de letras iguales.
Esta práctica introductoria reúne ocho preguntas originales con cuatro alternativas y soluciones razonadas. Trabaja con colecciones pequeñas para poder contrastar los recuentos mediante listas. No reproduce un examen oficial ni pretende desarrollar por completo un tema de oposición docente.
Cuatro decisiones antes de usar factoriales
Comprueba si importa el orden, si se usan todos los elementos, si se permite repetir y qué condiciones limitan las elecciones. En una fila de libros distintos importa el orden; en un grupo sin cargos, no. En un código cada posición puede admitir de nuevo un símbolo; en un grupo de personas distintas nadie puede aparecer dos veces.
El factorial n! es el producto de los enteros desde 1 hasta n; por convenio, 0!=1. Para los casos de objetos distintos y selección sin repetición, usamos estas estructuras:
| Situación de esta guía | Recuento |
|---|---|
| Elegir y ordenar r de n objetos distintos | n!/(n−r)! |
| Ordenar todos los n objetos distintos | n! |
| Elegir r de n sin que importe el orden | n!/[r! × (n−r)!] |
| Formar r posiciones, cada una con las mismas n opciones y repetición permitida | n elevado a r |
Las tres primeras fórmulas de selección se aplican con cantidades enteras y 0≤r≤n. Antes de aplicarlas debes comprobar las condiciones: que aparezcan dos números en el enunciado no determina qué fórmula corresponde.
El recurso de combinatoria del INTEF presenta variaciones, permutaciones y combinaciones. El apartado Counting Principles de OpenStax explica el principio multiplicativo y la diferencia entre selección ordenada y no ordenada. Aquí utilizamos datos y razonamientos propios, sin copiar sus ejemplos.
Algunos textos llaman «permutación de n tomados de r» a lo que aquí denominamos variación sin repetición. Conserva la definición del resultado que se cuenta: la etiqueta no debe sustituir al análisis de orden y repetición.
Ejercicio 1. Una elección de cada categoría
Una ficha puede tener uno de tres colores, una de dos formas y uno de cuatro tamaños. Todas las ternas son válidas y dos fichas son distintas si cambia al menos una característica. ¿Cuántas fichas diferentes pueden describirse?
A. 9. B. 12. C. 24. D. 6.
Ver solución del ejercicio 1
Correcta: C. Cada color admite dos formas, y cada pareja de color y forma admite cuatro tamaños. El recuento es 3 × 2 × 4 = 24. No estás eligiendo una sola característica entre nueve: eliges exactamente una de cada categoría.
A suma 3 + 2 + 4 y no cuenta las ternas. B omite el factor de las formas; D omite el de los tamaños. Como comprobación, fija un color: hay 2 × 4 = 8 fichas posibles con él. Los tres colores generan tres grupos distintos de ocho fichas, que suman 24. La multiplicación se justifica porque todas las combinaciones indicadas están permitidas.
Ejercicio 2. Dos cargos diferentes
Entre seis personas distintas se eligen una presidencia y una secretaría. Una misma persona no puede ocupar los dos cargos. ¿Cuántas asignaciones diferentes existen?
A. 15. B. 30. C. 36. D. 12.
Ver solución del ejercicio 2
Correcta: B. Hay seis opciones para la presidencia. Después de elegirla quedan cinco para la secretaría: 6 × 5 = 30. Los cargos son distintos, de modo que intercambiar a sus ocupantes produce otra asignación.
A cuenta parejas sin distinguir cargos: cada pareja genera dos asignaciones y 15 × 2 = 30. C permite que una persona ocupe ambos puestos, contradiciendo la restricción. D suma seis opciones para cada cargo sin construir las parejas válidas. En la terminología de esta guía es una variación sin repetición: eliges y ordenas solo dos de las seis personas.
Ejercicio 3. Un grupo sin cargos ni orden
De las mismas seis personas se forma un grupo de tres miembros distintos. No hay cargos y el orden en que se nombran no distingue grupos. ¿Cuántos grupos se pueden formar?
A. 20. B. 120. C. 216. D. 18.
Ver solución del ejercicio 3
Correcta: A. Si ordenaras tres personas obtendrías 6 × 5 × 4 = 120 listas. Pero cada grupo de tres aparece 3! = 6 veces, una por cada orden posible de sus miembros. El número de grupos es 120/6 = 20.
B conserva esas listas ordenadas como si fueran grupos diferentes. C calcula 6³ y permite repetir personas. D multiplica seis por tres, sin contar las selecciones. El divisor seis no se añade por costumbre: corrige exactamente las seis listas que representan el mismo grupo de tres personas distintas.
Ejercicio 4. Ordenar todos los objetos distintos
Cinco libros distintos, identificados como A, B, C, D y E, se colocan en una fila. Se usan todos una sola vez y cambiar su orden produce otra colocación. ¿Cuántas filas diferentes existen?
A. 5. B. 25. C. 60. D. 120.
Ver solución del ejercicio 4
Correcta: D. Para el primer lugar hay cinco libros disponibles, para el segundo cuatro, después tres, dos y uno. El total es 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120. Es una permutación de los cinco objetos distintos.
A solo cuenta qué libro ocupa el primer lugar. B multiplica dos elecciones de cinco sin respetar ni los cinco lugares ni la ausencia de repetición. C, que vale 5 × 4 × 3, se detiene tras ordenar tres libros; faltan los dos últimos lugares. Aquí no se divide entre 5!: el orden de la fila es precisamente lo que distingue una colocación de otra.
Ejercicio 5. Un código puede empezar por cero
Un código ficticio tiene exactamente cuatro posiciones. En cada una se escribe un dígito del conjunto 0, 1, 2, 3, 4. Se pueden repetir dígitos y se admite cero en la primera posición. ¿Cuántos códigos diferentes hay?
A. 625. B. 120. C. 500. D. 20.
Ver solución del ejercicio 5
Correcta: A. Hay cinco opciones en cada una de las cuatro posiciones: 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁴ = 625. Los códigos se comparan como cadenas de cuatro posiciones; por ejemplo, 0000 y 0001 son códigos admitidos y diferentes.
B usa 5 × 4 × 3 × 2 y prohíbe repeticiones que el enunciado permite. C calcula 4 × 5³ y excluye indebidamente el cero inicial. D suma cinco opciones cuatro veces. Este caso cuenta cadenas bajo reglas dadas, no números naturales de cuatro cifras ni la resistencia de una contraseña real.
Ejercicio 6. Ordenar símbolos indistinguibles
Se forman cadenas de cinco letras usando exactamente tres A, una B y una C. Las tres A son indistinguibles; no se añaden ni se retiran letras. ¿Cuántas cadenas distintas hay?
A. 120. B. 60. C. 20. D. 10.
Ver solución del ejercicio 6
Correcta: C. Si etiquetaras las tres A como A1, A2 y A3, habría 5! = 120 ordenaciones. Al retirar las etiquetas, cada cadena visible se ha contado 3! = 6 veces. Por tanto, hay 120/6 = 20 cadenas.
Otra comprobación elige la posición de B de cinco formas y la de C de cuatro: 5 × 4 = 20. Las otras tres posiciones quedan ocupadas por A. A distingue indebidamente las tres A; B divide solo entre dos y D elimina un factor adicional que no corresponde. Este problema no permite elegir de nuevo cualquier letra en cada posición: las cantidades de letras están fijadas.
Ejercicio 7. Un miembro obligatorio
Se forma un grupo de tres personas distintas entre siete, sin cargos y sin importar el orden. Una persona concreta, llamada X, debe estar siempre en el grupo. ¿Cuántos grupos válidos existen?
A. 35. B. 30. C. 21. D. 15.
Ver solución del ejercicio 7
Correcta: D. X ya ocupa una de las tres plazas del grupo. Faltan dos miembros entre las otras seis personas: C(6,2) = 6 × 5 / 2 = 15. No vuelvas a incluir a X entre las opciones para esas dos plazas.
A cuenta todos los grupos de tres entre siete, incluidos los que no contienen a X. B ordena las dos personas adicionales y duplica cada grupo válido. C elige dos entre siete, pero no retira de ese conjunto a la persona obligatoria. También puedes restar: todos los grupos son C(7,3)=35 y los que excluyen a X son C(6,3)=20; quedan 35 − 20 = 15.
Ejercicio 8. Número de tres cifras, sin repetir
Con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 se forman números naturales de exactamente tres cifras. Ningún dígito puede repetirse y la primera cifra no puede ser cero. ¿Cuántos números diferentes se pueden formar?
A. 60. B. 48. C. 100. D. 125.
Ver solución del ejercicio 8
Correcta: B. Para la primera cifra hay cuatro opciones, de 1 a 4. Elegida esa cifra, quedan cuatro dígitos para la segunda, incluido el cero. Para la tercera quedan tres: 4 × 4 × 3 = 48.
A cuenta 5 × 4 × 3 y admite cadenas que empiezan por cero. C calcula 4 × 5 × 5 y permite repeticiones. D permite tanto repetición como cero inicial. Otra vía cuenta las 60 cadenas sin repetición de tres posiciones y retira las que empiezan por cero: hay 4 × 3 = 12. El resultado vuelve a ser 60 − 12 = 48. La condición sobre la primera cifra solo afecta a esa posición.
Clave y controles de recuento
| Ejercicio | Respuesta | Decisión principal |
|---|---|---|
| 1 | C: 24 | Una elección de cada categoría, todas las ternas válidas |
| 2 | B: 30 | Dos cargos distintos, sin repetir persona |
| 3 | A: 20 | Grupo de tres sin orden ni repetición |
| 4 | D: 120 | Ordenar los cinco libros distintos |
| 5 | A: 625 | Cuatro posiciones y repetición permitida, incluido cero inicial |
| 6 | C: 20 | Tres A indistinguibles en una colección fija |
| 7 | D: 15 | Incluir a X y elegir dos de las otras seis personas |
| 8 | B: 48 | Sin repetición y con primera cifra distinta de cero |
Para comprobar un grupo pequeño, escribe las posibilidades y decide si dos listas representan lo mismo. En el caso 3, las seis ordenaciones de tres miembros deben reducirse al mismo grupo. En el 6, intercambiar las tres A no crea otra cadena visible. En el 8, separar primero las cadenas con cero inicial evita descontar casos incorrectos después.
Clasifica cada fallo como orden, repetición, elementos indistinguibles o restricción. Una operación con factoriales puede estar bien calculada y contar otra cosa. Revisa primero qué objetos o cadenas has incluido antes de repetir la cuenta con una calculadora.
Del recuento a la probabilidad y al temario
Los ocho ejercicios de probabilidad condicionada y Bayes trabajan cómo cambia el grupo de referencia y cómo se actualizan los casos disponibles. Contar resultados es un paso útil, pero para obtener una probabilidad como cociente de casos también hay que justificar el modelo de elección y la equiprobabilidad correspondiente. Estos ocho ejercicios de combinatoria solo piden cantidades de resultados.
El mapa de materias del material de Matemáticas de Secundaria incluye técnicas de recuento y combinatoria. Es un producto de pago; su ficha detalla el alcance del material. Esta colección sirve como repaso inicial de modelos de recuento, sin atribuir dificultad, frecuencia o puntuación a una prueba oficial.
Usa las combinaciones en una probabilidad binomial
Los ocho ejercicios de distribución binomial aplican el recuento de posiciones a probabilidades exactas, acumuladas y complementarias. Incluyen un contraste sin reposición para comprobar las condiciones del modelo antes de calcular.
Preguntas frecuentes
¿Cómo sé si importa el orden en combinatoria?
Pregunta si intercambiar los mismos elementos produce un resultado diferente. En dos cargos distintos sí cambia la asignación. En un grupo sin cargos, nombrar a sus miembros en otro orden no crea un grupo nuevo.
¿Qué diferencia hay entre variaciones y permutaciones en esta guía?
Llamamos variaciones sin repetición a elegir y ordenar r objetos entre n distintos. Usamos permutaciones simples para ordenar todos los n objetos distintos. Las combinaciones sin repetición seleccionan un grupo sin atender al orden.
¿Por qué se divide entre r! al contar combinaciones?
Porque cada grupo de r elementos distintos aparece r! veces entre las listas ordenadas de esos elementos. En el ejercicio 3, cada grupo de tres personas aparece seis veces, y 120 listas se convierten en 20 grupos.
¿Permitir repetir símbolos es lo mismo que ordenar símbolos repetidos?
No. En el ejercicio 5 se puede elegir cualquiera de cinco dígitos en cada posición. En el 6 se usan exactamente tres A, una B y una C: las cantidades están fijadas y las A son indistinguibles.
¿Puedo contar un código con cero inicial como un número de varias cifras?
Debes seguir la definición del problema. El código 0001 tiene cuatro posiciones en el ejercicio 5. En el 8 se piden números de tres cifras y se excluye el cero inicial, aunque el cero sí puede aparecer después.
