Distribución binomial: 8 ejercicios resueltos
Practica la distribución binomial con ocho ejercicios originales: probabilidades, complementos, media y varianza. Con soluciones y un caso sin reposición.
Estos ejercicios de distribución binomial trabajan el paso que suele decidir el cálculo: traducir el evento antes de usar la fórmula. «Exactamente dos», «al menos uno» y «como máximo uno» no agrupan los mismos resultados.
La colección contiene ocho preguntas originales con cuatro alternativas y soluciones razonadas: siete casos binomiales y un contraste de extracción sin reposición. Los datos son ficticios y los ensayos abstractos. No son preguntas oficiales, predicciones de resultados en una oposición ni modelos de una situación clínica.
Condiciones del modelo
Salvo el caso 7, se fija un número n de ensayos independientes. Cada ensayo tiene dos resultados, éxito o fallo, y la misma probabilidad de éxito p. X cuenta el número de éxitos, no la posición del primero ni el número de intentos hasta detenerse. En los datos elegidos, p está entre cero y uno.
«Éxito» es solo la etiqueta del resultado que se cuenta. No afirma que un resultado sea deseable ni que una probabilidad ficticia mida la preparación real de una persona. En el caso 7 se sustituyen expresamente las condiciones por una urna sin reposición.
El apartado 4.3 de Introductory Statistics 2e de OpenStax recoge los supuestos y los momentos de la binomial. El NIST presenta su masa de probabilidad y su función acumulada. Las secuencias, cifras, preguntas y tablas de esta práctica son propias.
Fórmula y lectura del evento
Para k entero entre cero y n:
P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1 − p)^(n − k).
El coeficiente C(n,k) = n!/[k! × (n − k)!] cuenta dónde pueden situarse los éxitos. Para k = 0 o k = n vale uno. La media es E(X) = n × p y la varianza Var(X) = n × p × (1 − p).
| Expresión del enunciado | Evento que se calcula |
|---|---|
| Exactamente k | P(X = k) |
| Al menos uno | P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) |
| Como máximo uno | P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) |
| Entre a y b, incluidos | Suma de P(X = k) para todos los enteros de a a b |
Las opciones usan probabilidades como fracciones o decimales exactos, sin redondeo. 0,784 equivale a 78,4 %, pero no se escribe 78,4 como probabilidad entre cero y uno. No se aplican aproximaciones normal o de Poisson.
Ejercicio 1. Exactamente dos éxitos
En el modelo binomial de esta práctica, n = 4 y p = 0,25. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos?
A. 0,03515625.
B. 0,2109375.
C. 0,25.
D. 0,421875.
Ver solución del ejercicio 1
Correcta: B. Hay C(4,2) = 6 posiciones posibles para los dos éxitos. La probabilidad es 6 × 0,25² × 0,75² = 0,2109375. El factor de fallo es 0,75, no 0,25.
A calcula solo una secuencia concreta con dos éxitos y dos fallos, sin sumar las seis posiciones posibles. C devuelve la probabilidad de éxito en un único ensayo. D duplica el recuento correcto. El orden sí distingue las secuencias del experimento, pero el evento pedido reúne todas las que tienen exactamente dos éxitos.
Ejercicio 2. Ningún éxito
Con n = 5 ensayos del modelo binomial y p = 0,20, ¿cuál es la probabilidad de no obtener ningún éxito?
A. 0,20.
B. 0,67232.
C. 0,00032.
D. 0,32768.
Ver solución del ejercicio 2
Correcta: D. Ningún éxito significa cinco fallos. La probabilidad de cada fallo es 0,80 y la independencia permite multiplicar: 0,80⁵ = 0,32768. El coeficiente C(5,0) vale uno: solo hay una secuencia con cero éxitos.
A utiliza p sin considerar las cinco repeticiones. B es el complemento, la probabilidad de al menos un éxito. C calcula 0,20⁵, que corresponde a cinco éxitos. Escribe primero si el evento habla de éxitos o de fallos: cambiar una palabra invierte la base de la potencia.
Ejercicio 3. Al menos uno mediante el complemento
En el modelo binomial, n = 3 y p = 0,40. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 1 éxito?
A. 0,784.
B. 0,216.
C. 1,20.
D. 0,064.
Ver solución del ejercicio 3
Correcta: A. El complementario de «al menos uno» es «ninguno». Por tanto, P(X ≥ 1) = 1 − 0,60³ = 1 − 0,216 = 0,784. El evento incluye uno, dos y tres éxitos.
B devuelve precisamente el complementario. C suma tres veces 0,40 sin corregir los solapamientos y obtiene una cifra mayor que uno, que no puede ser una probabilidad. D exige tres éxitos. El complemento ahorra sumar varias masas, pero solo funciona si identificas exactamente qué resultados quedan fuera.
Ejercicio 4. Como máximo uno incluye el cero
En el modelo binomial, n = 4 y p = 0,10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como máximo 1 éxito?
A. 0,2916.
B. 0,3439.
C. 0,9477.
D. 0,6561.
Ver solución del ejercicio 4
Correcta: C. «Como máximo uno» reúne X = 0 y X = 1. Las probabilidades son 0,90⁴ = 0,6561 y C(4,1) × 0,10 × 0,90³ = 0,2916. Su suma es 0,9477. Los dos eventos son disjuntos, por lo que se suman directamente.
A cuenta exactamente uno; D cuenta solo cero. B calcula al menos uno, 1 − 0,90⁴, que responde a otra desigualdad. Antes de usar una función acumulada o una calculadora, anota los valores enteros que incluye la expresión «como máximo».
| Evento | Probabilidad exacta |
|---|---|
| X = 0 | 0,6561 |
| X = 1 | 0,2916 |
| X ≤ 1 | 0,9477 |
Ejercicio 5. Una secuencia frente a cualquier orden
Se realizan n = 5 ensayos independientes con p = 0,50. S significa éxito y F fallo. ¿Qué pareja da, primero, la probabilidad de la secuencia S S F F F y, después, la de exactamente 2 éxitos en cualquier orden?
A. 0,3125; 0,03125.
B. 0,03125; 0,03125.
C. 0,3125; 0,3125.
D. 0,03125; 0,3125.
Ver solución del ejercicio 5
Correcta: D. La secuencia indicada tiene probabilidad 0,50⁵ = 0,03125. Para obtener dos éxitos en cualquier orden hay C(5,2) = 10 secuencias, todas con esa misma probabilidad en este caso: 10 × 0,03125 = 0,3125.
A intercambia los dos eventos. B usa una sola secuencia para ambos. C agrupa diez secuencias en ambos. El factor combinatorio no se añade si se ha fijado una secuencia concreta; aparece al reunir las posiciones posibles de los dos éxitos. Aquí todas las secuencias completas son equiprobables porque p = 0,50.
| Evento solicitado | Secuencias incluidas | Probabilidad |
|---|---|---|
| S S F F F | 1 | 0,03125 |
| Exactamente 2 éxitos | 10 | 0,3125 |
Ejercicio 6. Media y varianza son magnitudes distintas
Con n = 8 ensayos binomiales y p = 0,25, ¿qué pareja representa la media E(X) y la varianza Var(X), por ese orden?
A. 2; 1,5.
B. 2; 2.
C. 1,5; 2.
D. 2; 0,1875.
Ver solución del ejercicio 6
Correcta: A. La media es E(X) = n × p = 8 × 0,25 = 2. La varianza es Var(X) = n × p × (1 − p) = 8 × 0,25 × 0,75 = 1,5. Se pide varianza, no su raíz cuadrada.
B repite la media en el lugar de la varianza y omite el factor 0,75. C intercambia ambas cantidades. D calcula p × (1 − p) sin multiplicar por ocho. La esperanza de dos éxitos no obliga a obtener dos en cada bloque: X sigue pudiendo tomar los valores enteros de cero a ocho.
Ejercicio 7. Sin reposición cambia el modelo
Una urna ficticia contiene 4 fichas rojas y 6 azules. Se extraen 3 sin reposición, eligiendo cada vez uniformemente entre las fichas restantes. ¿Cuál es la probabilidad exacta de obtener 3 rojas?
A. 8/125.
B. 2/5.
C. 1/30.
D. 2/15.
Ver solución del ejercicio 7
Correcta: C. Las probabilidades se condicionan a lo ya extraído: (4/10) × (3/9) × (2/8) = 1/30. Tras sacar una roja quedan tres rojas entre nueve fichas. No son ensayos independientes con probabilidad de éxito constante.
A aplica 0,40³ como si se repusiera cada ficha. B se queda en la primera extracción. D se detiene después de las dos primeras rojas. Otra comprobación cuenta grupos equiprobables: hay C(10,3) = 120 grupos de tres fichas distintas y C(4,3) = 4 formados solo por rojas; 4/120 = 1/30. Es un contraste con la binomial exacta, no una petición de aproximarla.
El apartado 4.5 de OpenStax sobre la distribución hipergeométrica distingue este muestreo sin reposición de los ensayos independientes.
Ejercicio 8. Un intervalo con ambos extremos incluidos
En el modelo binomial, n = 5 y p = 0,30. ¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 2 y 3 éxitos, incluidos ambos extremos?
A. 0,3087.
B. 0,441.
C. 0,1323.
D. 0,47178.
Ver solución del ejercicio 8
Correcta: B. Se suman dos masas: P(X = 2) = 10 × 0,30² × 0,70³ = 0,3087 y P(X = 3) = 10 × 0,30³ × 0,70² = 0,1323. El total es 0,441. No se incluye ni un éxito ni cuatro.
A conserva solo el extremo inferior y C solo el superior. D calcula al menos dos, incluyendo también cuatro y cinco: 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 0,47178. Traducir el intervalo antes de operar permite distinguir estas dos sumas aunque ambas empiecen en dos.
| Valor de X | Probabilidad exacta |
|---|---|
| 2 | 0,3087 |
| 3 | 0,1323 |
| 2 o 3 | 0,441 |
Clave y controles de probabilidad
La clave es BDACDACB. Para cada caso binomial, escribe n, p y los valores de X incluidos. Si has usado el complemento, nombra el evento que restas. Si has multiplicado por C(n,k), identifica las secuencias que agrupa.
Una probabilidad debe estar entre cero y uno. Las masas de todos los valores de X deben sumar uno. Una suma de eventos disjuntos, como X = 2 o X = 3, no requiere restar una intersección: esos resultados no pueden ocurrir a la vez en el mismo bloque. Estas comprobaciones no sustituyen a elegir el modelo; una cifra dentro del intervalo puede corresponder al evento equivocado.
En los casos 5 y 7, contar resultados ayuda a comprobar el cálculo, pero la equiprobabilidad debe justificarse. Las 32 secuencias del caso 5 son equiprobables porque p = 0,50. Los grupos de tres fichas distintas del 7 son equiprobables por el mecanismo de extracción uniforme sin reposición.
Continuar con recuento y estadística
Los ocho ejercicios de combinatoria permiten practicar orden, repetición y selección. Aquí el recuento se combina con las probabilidades de los resultados; no basta con dividir dos cantidades sin justificar el mecanismo aleatorio.
El material de Ciencias FSE para BIR, QIR y RFIR incluye un apartado sobre distribución binomial, media y varianza. Es un producto de pago cuya ficha detalla el alcance. Esta práctica trabaja modelos pequeños y exactos; no reproduce el formato ni la dificultad global de una prueba oficial.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se usa una distribución binomial en esta práctica?
Cuando se cuenta el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, con dos resultados posibles y la misma probabilidad de éxito en cada ensayo. El caso 7 no cumple esas condiciones.
¿Al menos uno y como máximo uno significan lo mismo?
No. Al menos uno incluye 1, 2 y los restantes valores hasta n. Como máximo uno incluye solo 0 y 1. Los casos 3 y 4 trabajan esa diferencia.
¿Por qué aparece el coeficiente C(n,k)?
Cuenta las posiciones posibles de los k éxitos entre n ensayos. En el caso 5 hay diez secuencias con dos éxitos; una secuencia concreta no necesita ese factor diez.
¿La media indica cuántos éxitos saldrán obligatoriamente?
No. Es la esperanza del número de éxitos bajo el modelo. En el caso 6 vale dos, pero un bloque concreto puede tener un número distinto.
¿Se puede usar la misma p al extraer fichas sin reposición?
No en el caso 7 como modelo binomial exacto. La composición de la urna cambia con las extracciones, y la probabilidad de la siguiente roja depende de lo que haya ocurrido.
