Probabilidad condicionada y Bayes: 8 ejercicios resueltos

En probabilidad condicionada, recibir un dato cambia el grupo sobre el que calculas. Si te dicen que un documento está marcado, el denominador pasa a ser el conjunto de documentos marcados. Mantener el total inicial produce una probabilidad conjunta, que responde a otra pregunta.

Este cuaderno contiene ocho ejercicios originales con soluciones desplegables. Practica la lectura de tablas, la independencia, las extracciones sin devolución y el teorema de Bayes. Todos los datos son ficticios y todos los sorteos indicados son uniformes: cada elemento disponible tiene la misma probabilidad de ser elegido.

El tema 71 del anexo II de la convocatoria de Inspector de Policía Nacional, BOE-A-2026-15054, incluye probabilidad. El curso de Inspector, Escala Ejecutiva desarrolla la probabilidad condicionada y Bayes. Esta práctica complementa ese contenido; no es un cuestionario oficial ni establece el número o nivel de los cálculos que aparecerán en el examen. Puedes situar la materia en la guía de la prueba de conocimientos de Inspector.

Qué significa cada expresión

Escribimos P(A|B) como «probabilidad de A sabiendo B». La barra separa lo que preguntas de la información que ya tienes. Su definición exige P(B) > 0.

Expresión	Pregunta que responde
P(A)	¿Con qué probabilidad ocurre A en el conjunto inicial?
P(A y B)	¿Con qué probabilidad ocurren ambos sucesos?
Probabilidad de A sabiendo B	Dentro de B, ¿qué proporción cumple A?
Probabilidad de B sabiendo A	Dentro de A, ¿qué proporción cumple B?

Las dos últimas expresiones suelen tener denominadores distintos. Las relaciones básicas son:

• Condicionada: P(A|B) = P(A y B) / P(B).
• Multiplicación: P(A y B) = P(B) × P(A|B).
• Independencia: P(A y B) = P(A) × P(B).

Para invertir una condición, Bayes permite escribir P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B). El denominador debe incluir todas las formas de obtener B, no solo las que pasan por A.

Puedes contrastar las reglas de condicionamiento y tablas en Introductory Statistics, de OpenStax, y la formulación de Bayes en las notas de STAT 414 de Penn State. Los ejercicios siguientes tienen datos y enunciados propios.

Ocho ejercicios resueltos

1. El mismo numerador con tres denominadores

Un archivo contiene estos 200 documentos, clasificados por su lote de origen y por la presencia de una marca. Se elige uno al azar.

Lote	Marcados	Sin marcar	Total
X	48	72	120
Y	12	68	80
Total	60	140	200

Llamamos X a «pertenece al lote X» y M a «está marcado». Calcula P(X y M), P(M|X) y P(X|M).

Ver solución del ejercicio 1

La probabilidad conjunta es 48/200 = 0,24 = 24 %: de los 200 documentos, 48 cumplen ambas condiciones.

La probabilidad de estar marcado sabiendo que procede de X es 48/120 = 0,40 = 40 %. Ahora el grupo de referencia son únicamente los 120 documentos de X.

La probabilidad de proceder de X sabiendo que está marcado es 48/60 = 0,80 = 80 %. El grupo de referencia son los 60 marcados.

Los tres cálculos usan los mismos 48 documentos favorables. Cambia el denominador porque cambia la pregunta. Antes de dividir, completa la frase «de entre los…»: todos, los de X o los marcados. También puedes comprobar 0,60 × 0,40 = 0,24 y 0,30 × 0,80 = 0,24: ambos caminos reconstruyen la misma probabilidad conjunta.

2. Condicionar después de tomar el complemento

Usa la tabla anterior. Si sabemos que el documento no está marcado, ¿qué probabilidad hay de que proceda de Y? ¿Es lo mismo que la probabilidad de no estar marcado sabiendo que procede de Y?

Ver solución del ejercicio 2

Hay 140 documentos sin marcar y, entre ellos, 68 proceden de Y. Por tanto, P(Y|no M) = 68/140 = 17/35, aproximadamente 48,57 %.

En la pregunta inversa, el universo condicionado son los 80 documentos de Y. Entonces P(no M|Y) = 68/80 = 0,85 = 85 %. No coinciden.

El complemento también debe tomarse dentro del grupo correcto: P(Y|no M) = 1 − P(X|no M) = 1 − 72/140. Esto funciona porque X e Y son los dos únicos lotes, disjuntos y exhaustivos. Restar P(M|Y) a uno calcula P(no M|Y), la segunda pregunta; no calcula la primera.

3. ¿Son independientes el lote y la marca?

En la misma tabla, decide si los sucesos X y M son independientes. Justifica con dos comprobaciones distintas. ¿Permite el resultado afirmar que pertenecer a X causa la marca?

Ver solución del ejercicio 3

No son independientes en el modelo de selección de esta tabla. P(M) = 60/200 = 0,30, mientras que P(M|X) = 48/120 = 0,40. Saber que el documento procede de X cambia la probabilidad de que esté marcado.

La segunda comprobación compara la conjunta con el producto: P(X y M) = 0,24, pero P(X) × P(M) = 0,60 × 0,30 = 0,18. Como no son iguales, falla la independencia.

Esto describe la relación entre las dos clasificaciones dentro del archivo dado. No demuestra causalidad ni permite extrapolar automáticamente el patrón a otros archivos. Si la tabla procediera de una muestra para estudiar una población, la inferencia estadística requeriría un planteamiento adicional; aquí calculamos sobre los 200 documentos especificados.

4. Independientes no significa incompatibles

Se sortea un número entero del 1 al 20, todos igualmente probables. A significa «el número es par» y B, «es múltiplo de 5». ¿Son independientes? ¿Pueden ocurrir a la vez?

Ver solución del ejercicio 4

Hay 10 pares y cuatro múltiplos de 5: 5, 10, 15 y 20. Por tanto, P(A) = 1/2 y P(B) = 1/5. La intersección contiene 10 y 20, así que P(A y B) = 2/20 = 1/10.

El producto es (1/2)(1/5) = 1/10: sí son independientes. También P(A|B) = 2/4 = 1/2, igual a P(A).

No son incompatibles, porque 10 y 20 cumplen ambas condiciones. Como contraste, «sale un número del 1 al 5» y «sale uno del 6 al 10» son incompatibles. Cada suceso tiene probabilidad 1/4, pero su conjunta es 0, diferente del producto 1/16. Por ello, esos dos sucesos de probabilidad positiva no son independientes.

5. Dos extracciones sin devolución

Una caja contiene cinco fichas marcadas y tres sin marcar, todas distintas. Se extraen dos, una después de otra, sin devolver la primera y con elección uniforme entre las disponibles.

Calcula la probabilidad de que la segunda esté marcada sabiendo que la primera lo está. Después calcula la probabilidad de que ambas estén marcadas sabiendo que al menos una está marcada.

Ver solución del ejercicio 5

Si la primera está marcada, quedan cuatro marcadas entre siete fichas. La primera respuesta es 4/7, aproximadamente 57,14 %. No uses 5/8: ese era el reparto antes de extraer.

La probabilidad de dos marcadas es (5/8)(4/7) = 5/14. La probabilidad de al menos una marcada se obtiene con el complemento: 1 − (3/8)(2/7) = 25/28.

Como «ambas marcadas» implica «al menos una marcada», la condicionada buscada es (5/14)/(25/28) = 2/5 = 40 %.

Puedes verificar contando parejas ordenadas de fichas distintas: hay 8 × 7 = 56, todas equiprobables. De ellas, 20 tienen dos marcadas y seis tienen dos sin marcar. Entre las 50 parejas con al menos una marcada, 20 tienen ambas: 20/50. Este último paso condiciona sobre información acerca de las dos extracciones, no sobre el resultado de la primera.

6. Probabilidad total y origen de un documento

Se elige al azar un documento de un archivo. Los lotes A, B y C son disjuntos y contienen, respectivamente, el 50 %, 30 % y 20 % del archivo. Está marcado el 4 % de A, el 10 % de B y el 20 % de C.

¿Qué probabilidad tiene el documento de estar marcado? Si sabemos que está marcado, ¿qué probabilidad hay de que proceda de C?

Ver solución del ejercicio 6

Primero suma los tres caminos posibles hacia la marca:

P(M) = 0,50 × 0,04 + 0,30 × 0,10 + 0,20 × 0,20 = 0,02 + 0,03 + 0,04 = 0,09 = 9 %.

Después invierte la condición: P(C|M) = (0,20 × 0,20)/0,09 = 4/9, aproximadamente 44,44 %. El 20 % dado en el enunciado era P(M|C), otra probabilidad.

Una representación equivalente con 1000 documentos ayuda a verlo: A aportaría 20 marcados; B, 30; C, 40. Entre los 90 marcados, 40 serían de C. No promedies sin ponderar 4 %, 10 % y 20 %: los lotes no tienen el mismo tamaño. Si calculas las otras probabilidades de origen entre los marcados, obtienes 2/9 y 3/9; las tres suman uno.

7. Una alerta no invierte por sí sola la probabilidad

En un modelo ficticio, el 1 % de los documentos contiene un error. Un sistema genera una alerta en el 90 % de los documentos con error y en el 4 % de los documentos sin error. Se selecciona un documento al azar y tiene alerta. ¿Qué probabilidad hay de que contenga un error?

Ver solución del ejercicio 7

Llama E a «contiene error» y L a «genera alerta». La conjunta P(E y L) vale 0,01 × 0,90 = 0,009. Las alertas en documentos sin error aportan 0,99 × 0,04 = 0,0396.

La probabilidad total de alerta es 0,0486. Por Bayes, P(E|L) = 0,009/0,0486 = 5/27, aproximadamente 18,52 %. No es el 90 %: ese dato describe P(L|E).

Imagina una población compatible de 10 000 documentos: habría 100 con error, de los que 90 generarían alerta, y 9900 sin error, de los que 396 generarían alerta. De las 486 alertas, 90 corresponderían a error: 90/486.

La alerta eleva la probabilidad desde el 1 % inicial hasta el 18,52 %, pero la gran cantidad de documentos sin error también aporta alertas. Son datos inventados de clasificación documental, no tasas observadas ni un criterio para tomar decisiones sobre personas.

8. Detectar que faltan datos para aplicar Bayes

Solo conoces P(A) = 0,20 y P(B|A) = 0,80. Te piden P(A|B). ¿Existe una respuesta única? Muestra dos modelos compatibles con esos datos.

Ver solución del ejercicio 8

No hay una respuesta única. Puedes calcular P(A y B) = 0,20 × 0,80 = 0,16, pero falta P(B). En particular, no sabes cuánto contribuye a B el grupo que no cumple A.

Si P(B|no A) = 0,10, entonces P(B) = 0,16 + 0,80 × 0,10 = 0,24 y P(A|B) = 0,16/0,24 = 2/3.

Si P(B|no A) = 0,40, entonces P(B) = 0,16 + 0,80 × 0,40 = 0,48 y P(A|B) = 0,16/0,48 = 1/3.

Ambos modelos respetan los dos datos iniciales. La diferencia prueba que necesitas información adicional. Escribir la fórmula de Bayes no crea el denominador que falta; tampoco puedes suponer independencia sin que se dé o se demuestre.

Una pauta para corregirte

En cada ejercicio anota qué elemento se sortea, qué información ya se conoce y entre qué casos se divide. Después comprueba que el resultado esté entre cero y uno. Si has construido una partición de orígenes, sus probabilidades posteriores deben sumar uno.

Los casos 1 y 2 detectan la inversión del condicionamiento; el 3 y el 4 separan dependencia de incompatibilidad; el 5 obliga a actualizar el espacio disponible; el 6 y el 7 exigen incluir todos los caminos hacia la evidencia; el 8 comprueba si el enunciado permite calcular.

Para integrar la práctica en tu estudio, consulta el contenido del curso de Inspector de Policía Nacional y la estructura de la prueba de conocimientos. Dominar estos ocho casos no sustituye el resto del programa ni permite anticipar preguntas concretas.

Preguntas frecuentes

¿Qué cambia en una probabilidad condicionada?

Cambia el grupo de referencia. Para calcular P(A|B), conservas los casos que cumplen B y determinas qué proporción cumple también A. La definición requiere que P(B) sea positiva.

¿P(A|B) es igual a P(B|A)?

No en general. Comparten la probabilidad conjunta en el numerador, pero sus denominadores son P(B) y P(A), respectivamente. Una tabla de frecuencias permite distinguir ambas direcciones.

¿Cuándo se usa el teorema de Bayes?

Se usa para calcular una probabilidad condicionada a partir de la condición inversa y de las probabilidades necesarias para ponderarla. El denominador debe recoger todas las formas posibles de obtener la evidencia.

¿Independencia e incompatibilidad significan lo mismo?

No. La independencia exige que la conjunta coincida con el producto de las probabilidades. Dos sucesos incompatibles no pueden ocurrir a la vez; si ambos tienen probabilidad positiva, no son independientes.

¿Estos ejercicios son preguntas oficiales de Inspector?

No. Son ocho problemas originales de práctica. El tema 71 del programa de la convocatoria citada incluye probabilidad, pero esta colección no fija el peso de la materia ni reproduce un examen del tribunal.