Progresiones aritméticas y geométricas: 8 ejercicios
Resuelve 8 ejercicios de progresiones aritméticas y geométricas: término general, sumas, índices, razón negativa y convergencia, con soluciones explicadas.
Las progresiones aritméticas y geométricas permiten calcular un término sin escribir toda la sucesión, sumar un bloque de términos o comprobar si un valor pertenece a ella. El detalle que suele decidir el resultado es contar los pasos desde el primer término y distinguir la posición de su valor.
Aquí tienes ocho ejercicios originales con cuatro alternativas y soluciones explicadas. En todos se declara si la progresión es aritmética o geométrica: no tienes que adivinar una regla entre muchas posibles a partir de una lista finita. Para entrenar esa búsqueda de patrones, tienes también las doce series numéricas resueltas para Mossos.
Qué significan los símbolos
Se empieza en a1, el término de posición 1. Los índices son números naturales positivos: a2 es el segundo término y an, el de posición n. En las fórmulas, n no representa necesariamente el valor del término. Usaremos Sn para la suma desde a1 hasta an, ambos incluidos.
Los enunciados son modelos matemáticos exactos. Una fracción escrita como 1/4 es exacta; la coma separa decimales. No hay medidas que debas redondear ni situaciones financieras, fiscales o de crecimiento real que requieran suposiciones adicionales.
| Modelo | Término de posición n | Suma de los primeros n términos |
|---|---|---|
| Aritmético, diferencia d | an = a1 + (n - 1) × d | Sn = n × (a1 + an) / 2 |
| Geométrico, razón r distinta de 1 | an = a1 × r^(n - 1) | Sn = a1 × (1 - r^n) / (1 - r) |
| Geométrico, razón r = 1 | an = a1 | Sn = n × a1 |
La fórmula geométrica finita también puede escribirse como a1 × (r^n - 1) / (r - 1): se cambian de signo numerador y denominador a la vez. No mezcles el numerador de una forma con el denominador de la otra.
Para una serie geométrica infinita con |r| < 1, el límite de Sn es a1 / (1 - r). Es una afirmación sobre el límite de las sumas parciales. No equivale a sustituir una posición infinita en la fórmula de un término ni a sumar a mano una lista que termina.
Tres comprobaciones antes de operar
- Identifica qué se pide: un término, una posición, una diferencia o razón, o una suma.
- Cuenta los intervalos. Entre a1 y an hay n - 1; entre ap y aq hay q - p.
- Sustituye tu resultado en los datos iniciales. Si buscas una posición, exige que sea un índice permitido; si buscas una razón, comprueba todas sus posibilidades bajo las condiciones dadas.
Una muestra finita no determina por sí sola una sucesión única. Aquí la hipótesis de progresión indicada en cada pregunta es la que permite emplear las fórmulas. Tampoco se impone una razón positiva cuando el enunciado permite cualquier razón real.
Ejercicio 1. Una posición lejana
Una progresión aritmética tiene a1 = -7 y diferencia d = 4. ¿Cuánto vale a12?
A. 41.
B. 37.
C. -51.
D. 44.
Ver solución del ejercicio 1
Correcta: B. Entre el primer término y el duodécimo hay once saltos. Aplicas a12 = -7 + (12 - 1) × 4 = -7 + 44 = 37.
El 41 aparece al contar doce incrementos en lugar de once. Puedes comprobar el principio de la progresión: -7, -3, 1, 5. El primer término no se obtiene sumando una diferencia a otro valor inicial: ya es -7. Escribir primero cuántos saltos necesitas evita un error que se conserva aunque la multiplicación esté bien hecha.
Ejercicio 2. Reconstruye la diferencia y el inicio
En una progresión aritmética, a3 = 14 y a9 = 44. ¿Cuáles son d y a1, en ese orden?
A. d = 5; a1 = 9.
B. d = 30; a1 = -46.
C. d = 5; a1 = 4.
D. d = 6; a1 = 2.
Ver solución del ejercicio 2
Correcta: C. Desde a3 hasta a9 hay seis saltos iguales. La diferencia total es 44 - 14 = 30, por lo que d = 30 / 6 = 5. Retrocedes dos saltos desde a3 para llegar a a1: 14 - 2 × 5 = 4. La pareja es d = 5; a1 = 4.
Reconstruye ambos datos antes de darla por buena: a3 = 4 + 2 × 5 = 14 y a9 = 4 + 8 × 5 = 44. Contar los términos de a3 a a9, incluyendo los dos extremos, da siete términos, pero solo seis intervalos. La diferencia no se obtiene dividiendo entre siete.
Ejercicio 3. Suma los primeros términos
Una progresión aritmética tiene a1 = 9 y d = 3. ¿Cuál es la suma S20 de sus primeros 20 términos?
A. 660.
B. 780.
C. 1500.
D. 750.
Ver solución del ejercicio 3
Correcta: D. Primero necesitas el último término incluido: a20 = 9 + 19 × 3 = 66. Entonces S20 = 20 × (9 + 66) / 2 = 750.
También puedes emparejar extremos: el primero y el último suman 75; el segundo y el penúltimo también, y así sucesivamente. Hay diez parejas, así que el total es 10 × 75. El valor 1500 omite la división entre dos. Recuerda qué pregunta se ha hecho: 66 es el término vigésimo, mientras que 750 reúne los veinte términos.
Ejercicio 4. ¿El valor pertenece a la progresión?
Una progresión aritmética tiene a1 = 6 y d = 4. ¿El número 101 es alguno de sus términos, con índice natural positivo?
A. No: 101 no es ningún término.
B. Sí: es a24.
C. Sí: es a25.
D. Sí: es a26.
Ver solución del ejercicio 4
Correcta: A. Planteas 6 + (n - 1) × 4 = 101. Despejar da n = 1 + 95 / 4 = 24,75. Ese valor no es un índice natural positivo. Por tanto, 101 no pertenece a la progresión.
No redondees el índice para hacerlo encajar. El término a24 vale 6 + 23 × 4 = 98 y a25 vale 102: 101 queda entre ambos. El problema pide pertenencia exacta, no encontrar el término más próximo. Si la posición despejada hubiera sido entera pero no positiva, tampoco habría correspondido a un término bajo la numeración fijada aquí.
Ejercicio 5. Razón negativa y signo del término
Una progresión geométrica tiene a1 = 7 y razón r = -2. ¿Cuánto vale a6?
A. 224.
B. -448.
C. -224.
D. -70.
Ver solución del ejercicio 5
Correcta: C. Desde a1 hasta a6 se multiplica cinco veces por -2. Así, a6 = 7 × (-2)^5 = 7 × (-32) = -224. Una potencia impar de una base negativa conserva el signo negativo.
La enumeración confirma tanto la posición como el signo: 7, -14, 28, -56, 112, -224. El 224 pierde el signo; -448 multiplica una vez más y corresponde al término siguiente. No confundas la razón negativa con restar dos a cada paso: una progresión geométrica se define por multiplicación constante.
Ejercicio 6. Una suma geométrica finita
Una progresión geométrica tiene a1 = 5 y r = 3. ¿Cuánto vale S5, la suma de sus primeros 5 términos?
A. 405.
B. 605.
C. 1210.
D. 600.
Ver solución del ejercicio 6
Correcta: B. Los cinco términos son 5, 15, 45, 135 y 405. Su suma es 605. La fórmula lo confirma: S5 = 5 × (3^5 - 1) / (3 - 1) = 5 × 242 / 2 = 605.
El 405 es únicamente a5, no la suma. El 1210 conserva el numerador y olvida dividir entre r - 1. Otra comprobación es multiplicar la suma por 3 y restarle la suma original: 3S5 - S5 = 1215 - 5 = 1210. Los términos interiores se cancelan y queda 2S5 = 1210. No se ha sumado una cantidad infinita de términos.
Ejercicio 7. Dos razones posibles
Una progresión geométrica de términos reales tiene a1 = 3 y a3 = 27. La razón r es real y no se impone que sea positiva. ¿Qué valores puede tomar a2?
A. Solo 9.
B. Solo -9.
C. -3 y 3.
D. -9 y 9.
Ver solución del ejercicio 7
Correcta: D. La relación entre los datos es a3 = a1 × r². Se obtiene 27 = 3r² y, por tanto, r² = 9. Hay dos razones reales posibles: r = 3 y r = -3. En consecuencia, a2 = 3r puede ser 9 o -9.
Las dos progresiones reconstruyen el dato: 3, 9, 27 y 3, -9, 27. La respuesta -3 y 3 recoge las razones, pero se ha preguntado por el segundo término. Extraer únicamente la raíz positiva añadiría una restricción que el enunciado excluye expresamente. Dos términos no consecutivos pueden no determinar de manera única la razón.
Ejercicio 8. La suma de una serie geométrica infinita
Una serie geométrica infinita tiene primer término a1 = 18 y razón r = 1/4. ¿Cuál es su suma, entendida como el límite de las sumas parciales?
A. 24.
B. 18.
C. 72.
D. 23,90625.
Ver solución del ejercicio 8
Correcta: A. La razón cumple |r| = 1/4 < 1, así que las sumas parciales convergen. La suma es S = 18 / (1 - 1/4) = 18 / (3/4) = 24.
Puedes ver la aproximación con sumas finitas:
| n | Suma de los primeros n términos | Diferencia hasta 24 |
|---|---|---|
| 1 | 18 | 6 |
| 2 | 22,5 | 1,5 |
| 3 | 23,625 | 0,375 |
| 4 | 23,90625 | 0,09375 |
La tabla ilustra el acercamiento, pero cuatro sumas no prueban un límite. El argumento es que Sn = 24 × (1 - (1/4)^n) y (1/4)^n tiende a cero. El 23,90625 de la opción D es S4: sigue faltando el resto de la serie. La fórmula de suma infinita no se aplica a la del ejercicio 6, cuya razón era 3.
Clave y revisión de errores
Las respuestas son 1B, 2C, 3D, 4A, 5C, 6B, 7D y 8A. No te quedes únicamente con la letra:
- Si fallaste el 1 o el 2, escribe cuántos intervalos separan las posiciones.
- Si fallaste el 3 o el 6, distingue el último término de la suma de todos.
- Si fallaste el 4, comprueba la pertenencia exacta sin redondear índices.
- Si fallaste el 5 o el 7, conserva los signos y todas las razones reales admitidas.
- Si fallaste el 8, separa la suma parcial del límite y comprueba |r| < 1.
Para repetir, cambia un dato, predice el efecto y recalcula. Por ejemplo, explica por qué pasar de a12 a a13 en el primer ejercicio añade una sola diferencia, mientras que en el quinto pasar de a6 a a7 multiplica una vez por la razón. Una colección de aciertos no equivale a una calificación oficial.
Relación con la preparación de Matemáticas
El material auxiliar de Matemáticas de Secundaria es de pago y recoge sucesiones y progresiones en el tema 8 de su índice. Su alcance declarado no es desarrollar los 71 temas completos. Esta colección aporta práctica concreta sobre progresiones; consulta la ficha y las bases de tu proceso antes de decidir qué material necesitas.
Los ejercicios son propios y no reproducen preguntas oficiales. Esta página no verifica el programa, la calificación o las condiciones de una convocatoria concreta.
Fuentes para contrastar las fórmulas
Puedes contrastar la definición y el término general de las sucesiones aritméticas y geométricas, y las fórmulas de sumas finitas y series geométricas infinitas, en College Algebra 2e, de OpenStax. Las preguntas, cifras, alternativas y la tabla de sumas parciales de esta página son propias.
Preguntas frecuentes
¿Cómo distingo una progresión aritmética de una geométrica?
En una aritmética se suma una diferencia constante para pasar al siguiente término. En una geométrica se multiplica por una razón constante. En estos ejercicios el tipo se indica en el enunciado.
¿Por qué aparece n - 1 en el término general?
Porque a1 ya es el primer término. Para llegar a an desde a1 se realizan n - 1 pasos: sumas de la diferencia en una aritmética o multiplicaciones por la razón en una geométrica.
¿Una razón geométrica puede ser negativa?
Sí. Con primer término distinto de cero y razón negativa, los signos alternan. Debe conservarse el signo de la razón al calcular sus potencias.
¿Puedo redondear el índice si no sale entero?
No para decidir si un valor pertenece exactamente a una progresión numerada por índices naturales positivos. Si el índice obtenido no es entero positivo, ese valor no es un término de la progresión.
¿Cuándo puedo usar la fórmula de suma geométrica infinita?
Para una serie geométrica con |r| < 1, sus sumas parciales convergen y la suma es a1 / (1 - r). No basta con que los primeros términos parezcan acercarse a un valor: hay que comprobar la condición sobre la razón.
