MCD y MCM: 8 ejercicios resueltos paso a paso
Distingue máximo común divisor y mínimo común múltiplo con ocho ejercicios resueltos: factores primos, repartos, ciclos, intervalos y fracciones.
En los ejercicios de máximo común divisor y mínimo común múltiplo, lo primero es decidir qué se está buscando. Una longitud que divide dos tiras y un tiempo que es múltiplo de dos periodos cumplen condiciones distintas. Acertar la factorización no evita un error si eliges el modelo equivocado.
Aquí tienes ocho preguntas originales con cuatro alternativas y soluciones razonadas. Incluyen cálculo directo, piezas iguales, lotes idénticos, ciclos, un total dentro de un intervalo y una fracción. Es una práctica introductoria de aritmética: no reproduce un examen oficial ni desarrolla por completo un tema de oposición docente.
Divisor y múltiplo: la dirección importa
Trabajamos con enteros positivos. Decir que d es divisor de n significa que n/d es entero. Decir que m es múltiplo de n significa que m/n es entero. La palabra común exige que esa relación se cumpla con todos los números dados.
| Qué se busca | Condición | Elección final |
|---|---|---|
| Máximo común divisor, m.c.d. | Divide exactamente cada número | El mayor divisor positivo compartido |
| Mínimo común múltiplo, m.c.m. | Es múltiplo de cada número | El menor múltiplo positivo compartido |
El cero no se elige como m.c.m. en esta definición, aunque sea múltiplo de cualquier entero. Si no hay factores primos comunes, el m.c.d. es uno: eso no significa que alguno de los números tenga que ser primo.
En una descomposición en factores primos, el m.c.d. toma los factores comunes con el menor exponente, y el m.c.m. toma todos los factores presentes con el mayor exponente. La sección de números primos y compuestos de OpenStax explica estos procedimientos. El recurso de valores comunes de CEDEC-INTEF trabaja su aplicación a problemas. Los datos, alternativas y explicaciones de esta práctica son propios.
Escribe la condición antes de calcular
En cada problema anota si el resultado divide las cantidades dadas o si es múltiplo de ellas. Después revisa si se pide el máximo, el mínimo positivo o una cantidad dentro de un intervalo. En los ciclos, comprueba también si comparten el instante inicial. No decidas por una palabra aislada como grande, pequeño o coincidir.
Ejercicio 1. El mayor divisor compartido
¿Cuál es el máximo común divisor de 84 y 126?
A. 21.
B. 42.
C. 6.
D. 252.
Ver solución del ejercicio 1
Correcta: B. Las descomposiciones son 84 = 2² × 3 × 7 y 126 = 2 × 3² × 7. Los primos comunes son 2, 3 y 7. Tomando su menor exponente aparece 2 × 3 × 7 = 42. Comprueba que 84/42 = 2 y 126/42 = 3: divide a ambos números.
A y C también son divisores comunes, pero no son el mayor. D es un múltiplo común y supera los números que tendría que dividir. Otra comprobación enumera los divisores comunes: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. El último es el buscado. Ser divisor de los dos es necesario; para responder debes justificar también la condición de máximo.
Ejercicio 2. El menor múltiplo positivo compartido
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 28 y 42?
A. 14.
B. 1.176.
C. 56.
D. 84.
Ver solución del ejercicio 2
Correcta: D. Descompón 28 = 2² × 7 y 42 = 2 × 3 × 7. Para que el resultado contenga todos los factores necesarios, toma cada primo con su mayor exponente: 2² × 3 × 7 = 84. Es múltiplo de 28 porque 84/28 = 3, y de 42 porque 84/42 = 2.
A es el máximo común divisor y no un múltiplo de ambos. B multiplica los números completos: 28 × 42 = 1.176 es un múltiplo común, pero no el menor positivo. C es múltiplo de 28, aunque no de 42. Puedes revisar la minimalidad con los múltiplos positivos de 28: 28 y 56 no son divisibles por 42; 84 sí.
Ejercicio 3. Piezas iguales de longitud máxima
Dos tiras ideales miden 96 cm y 144 cm. Se dividen por separado en piezas de una misma longitud, sin sobrantes. La longitud de cada pieza debe ser un número entero positivo de centímetros y se ignora cualquier pérdida en los cortes. ¿Cuál es la mayor longitud posible?
A. 48 cm.
B. 24 cm.
C. 96 cm.
D. 288 cm.
Ver solución del ejercicio 3
Correcta: A. La longitud debe dividir exactamente tanto 96 como 144. Se busca el mayor divisor común: 48 cm. Así, la tira de 96 cm da dos piezas y la de 144 cm da tres: cinco piezas en total. Reconstruye las longitudes: 2 × 48 = 96 y 3 × 48 = 144.
B también permite repartir sin sobrantes, pero genera piezas más cortas y no satisface el máximo. C deja un resto en la tira de 144 cm. D es el mínimo común múltiplo y supera incluso la tira más larga: no puede ser la longitud de una pieza obtenida al dividir cada tira. El modelo es aritmético; no se pide planificar un corte real ni incorporar espesores o desperdicios que se han excluido.
Ejercicio 4. El máximo número de lotes idénticos
Hay 70 lápices y 98 gomas. Se utilizan todos para formar el mayor número posible de lotes idénticos, sin partir objetos. Cada lote debe contener la misma cantidad de lápices que los demás y la misma cantidad de gomas que los demás. ¿Cuántos lotes se pueden formar?
A. 7 lotes.
B. 35 lotes.
C. 14 lotes.
D. 28 lotes.
Ver solución del ejercicio 4
Correcta: C. El número de lotes debe ser un divisor común de 70 y 98. El mayor es 14. Cada lote recibe 70/14 = 5 lápices y 98/14 = 7 gomas. No se exige que el número de lápices coincida con el de gomas dentro de un lote: se exige que todos los lotes tengan la misma composición.
A permite lotes idénticos, pero solo forma siete y no alcanza el máximo. B divide 70, aunque no 98. D no divide exactamente ninguna de las dos cantidades. Para comprobar el reparto elegido, multiplica su composición por catorce: recuperas los 70 lápices y las 98 gomas, sin crear, partir ni dejar fuera objetos.
Ejercicio 5. Dos ciclos con el mismo comienzo
Dos señales ficticias se emiten de forma instantánea y exacta: una cada 16 minutos y otra cada 24 minutos. Ambas se emiten a las 08:10 y mantienen esos intervalos sin interrupciones. ¿A qué hora vuelven a coincidir por primera vez después de las 08:10?
A. 08:58.
B. 08:34.
C. 09:30.
D. 08:18.
Ver solución del ejercicio 5
Correcta: A. Desde la coincidencia inicial han de transcurrir minutos que sean múltiplos de 16 y 24. El menor tiempo positivo es 48 minutos. Al sumarlo a las 08:10 obtienes 08:58. La primera señal ha completado tres intervalos y la segunda dos.
B suma solo 24 minutos: la segunda se emite entonces, pero la primera no. C suma 80, que no es múltiplo de 24. D suma ocho, el máximo común divisor; ese valor no es un intervalo de coincidencia. La condición de empezar juntas es parte del modelo. Aquí no hay retrasos, duración de la señal ni calendarios que añadir; si cambian esas reglas, hay que analizar de nuevo la coincidencia.
Ejercicio 6. Los ciclos empiezan en instantes distintos
Una señal A se emite en el minuto 0 y después cada 6 minutos. Otra señal B se emite por primera vez en el minuto 2 y después cada 8 minutos. Las emisiones son instantáneas y exactas. ¿En qué minuto coinciden por primera vez?
A. 24.
B. 18.
C. 14.
D. No llegan a coincidir.
Ver solución del ejercicio 6
Correcta: B. Escribe los instantes desde un mismo origen. A se emite en 0, 6, 12, 18, 24, 30…; B en 2, 10, 18, 26, 34…. La primera coincidencia aparece en el minuto 18. Comprueba las dos condiciones: 18 = 6 × 3 y 18 = 2 + 8 × 2.
A usa 24, el mínimo común múltiplo de los periodos, sin tener en cuenta que B comenzó dos minutos más tarde. En el minuto 24 A sí se emite, pero B no. C no pertenece a ninguna de las dos listas. D queda descartada al encontrar 18 en ambas. El valor 24 describe la separación entre coincidencias sucesivas en este caso, no el instante de la primera coincidencia desde el origen elegido.
Ejercicio 7. Un múltiplo común dentro de un intervalo
Un número entero de fichas está entre 131 y 159, ambos incluidos. Se pueden repartir todas, sin sobrantes, tanto en grupos de 6 como en grupos de 10. ¿Cuántas fichas hay?
A. 140.
B. 144.
C. 156.
D. 150.
Ver solución del ejercicio 7
Correcta: D. El total debe ser múltiplo de 6 y de 10, por lo que debe ser múltiplo de su mínimo común múltiplo, 30. Los múltiplos cercanos son 120, 150 y 180. Solo 150 está en el intervalo indicado. Se forman 150/6 = 25 grupos de seis o 150/10 = 15 grupos de diez.
A se divide entre diez, pero no entre seis. B y C se dividen entre seis, pero no entre diez. No hay que repartir simultáneamente una parte en grupos de seis y otra en grupos de diez: son dos maneras alternativas de agrupar el mismo total. El intervalo permite seleccionar una única cantidad entre los múltiplos comunes.
Ejercicio 8. Usar el máximo común divisor al simplificar
¿Cuál es la forma irreducible de la fracción 315/486?
A. 105/162.
B. 35/18.
C. 35/54.
D. 54/35.
Ver solución del ejercicio 8
Correcta: C. La descomposición de 315 es 3² × 5 × 7, y la de 486 es 2 × 3⁵. El máximo común divisor es 3² = 9. Divide ambos términos por nueve: 315/486 = 35/54. Los números 35 = 5 × 7 y 54 = 2 × 3³ ya no comparten un factor primo, de modo que la fracción es irreducible.
A divide los dos términos entre tres y conserva el valor, pero aún puede simplificarse. B divide numerador y denominador por factores diferentes y cambia el valor. D invierte la fracción reducida. Puedes comprobar la equivalencia con productos cruzados: 315 × 54 = 486 × 35 = 17.010. Esta comprobación verifica el valor; para demostrar irreducibilidad comprueba además que el máximo común divisor de 35 y 54 es uno.
Plantilla y controles
| Ejercicio | Respuesta | Comprobación |
|---|---|---|
| 1 | B: 42 | Divide 84 y 126; los cocientes son 2 y 3 |
| 2 | D: 84 | Es múltiplo de 28 y 42; cocientes 3 y 2 |
| 3 | A: 48 cm | Produce dos piezas y tres piezas |
| 4 | C: 14 lotes | Cada lote tiene cinco lápices y siete gomas |
| 5 | A: 08:58 | Transcurren 48 minutos desde las 08:10 |
| 6 | B: minuto 18 | 18 = 6 × 3 = 2 + 8 × 2 |
| 7 | D: 150 fichas | Múltiplo de 30 dentro de 131 a 159 |
| 8 | C: 35/54 | Numerador y denominador divididos por 9 |
La clave es BDACABDC. En los problemas de divisores, comprueba que los cocientes sean enteros y que se alcance el máximo exigido. En los de múltiplos, comprueba la divisibilidad y que no exista uno positivo menor que cumpla las mismas condiciones. En un intervalo, revisa sus dos extremos.
En el ejercicio 3 maximizar la longitud reduce el número total de piezas. En el 4 maximizar los lotes reduce la cantidad de objetos que recibe cada uno. Ambos usan un divisor común, pero la incógnita y su unidad cambian. Escribir solo el número del m.c.d. sin indicar si son centímetros o lotes deja sin comprobar parte de la respuesta.
Los ciclos de los ejercicios 5 y 6 son modelos exactos con emisiones instantáneas. No incluyen retrasos, solapamientos de duración ni calendarios reales. Si los comienzos son distintos, conserva esa diferencia al escribir las listas: cambiar los dos instantes de comienzo por cero transforma el problema.
Del cálculo de divisores al trabajo con fracciones
Continúa con los doce ejercicios de fracciones para psicotécnicos si quieres practicar denominadores comunes, simplificación y operaciones. El m.c.m. puede ayudar a elegir un denominador común pequeño; no sustituye las reglas para sumar o restar numeradores.
El material de Matemáticas de Secundaria incluye máximo común divisor y mínimo común múltiplo en su apartado de aritmética y álgebra. Es un producto de pago cuya ficha detalla su alcance. Esta colección repasa modelos básicos, sin atribuirles dificultad, frecuencia ni puntuación en una prueba oficial.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre m.c.d. y m.c.m.?
El máximo común divisor es el mayor entero positivo que divide a todos los números dados. El mínimo común múltiplo es el menor entero positivo que es múltiplo de todos ellos. En esta práctica los números de partida son enteros positivos.
¿Cómo uso los exponentes de los factores primos?
Para el m.c.d., toma solo los primos presentes en todos los números, con su menor exponente. Para el m.c.m., toma todos los primos presentes en alguno, con su mayor exponente.
¿El mayor número de lotes siempre es el m.c.d.?
En el ejercicio 4 sí, porque se usan todos los objetos, no se parten y cada lote tiene la misma composición. Esas condiciones obligan a que el número de lotes divida cada cantidad. No decidas solo por la palabra mayor.
¿Puedo usar el m.c.m. si dos ciclos empiezan a horas distintas?
Debes tener en cuenta los instantes de comienzo. En el ejercicio 6 los periodos son seis y ocho minutos, pero la primera coincidencia ocurre en el minuto 18, no en el 24. Escribe los instantes sobre el mismo origen.
¿Basta dividir una fracción por un divisor común para dejarla irreducible?
No siempre. Dividir por cualquier divisor común conserva el valor, pero puede dejar factores compartidos. Dividir numerador y denominador por su máximo común divisor deja una fracción irreducible con denominador positivo.
